5 Medidas de uma variável

5.1 Medidas de posição ou de Tendência Central

Utilidadas para resumir variáveis quantitativas.
Dão a ideia do lugar da reta estão concentrados os valores de uma variável.

5.1.1 Média (Aritmética)

A medida mais utilizada é a média, definida por \[\displaystyle \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \dfrac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}~.\]
*Exemplo - Duração dos filmes da pixar: $\bar{x} = \frac{81+95+92+92+100+115+117+111+98+96+103+106+93+104+95+93+97+102+105+118+100+102+100}{23}=100.65$
Alternativamente, quando há empates (isto é, $n_1$ observações do valor $x_1$, $n_2$ observações do valor $x_2$, e assim por diante), podemos calcular a média por \[\displaystyle \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^k n_i~x_i = \sum_{i=1}^k f_i~x_i = \frac{n_1~x_1+n_2~x_2+\ldots+n_k~x_k}{n}~,\] em que $k\leq n$ é a quantidade de valores diferentes assumidos pela variável $X$ e $\sum n_i = n$. Ainda pode-se considerar para o cálculo da média a frequência relativa $f_i = n_i/n$.
Quando os dados estão agrupados em classes, podemos calcular um valor aproximado da média fazendo \[\displaystyle \bar{x} \approx \sum_{i=1}^k f_i~\bar{x}_i~,\] em que $\bar{x}_i$ é o valor médio da i-ésima classe e $f_i$ é a frequência relativa daquela classe.

5.1.2 Mediana

A mediana é o valor central dos dados. Pode ser calculada por

\[ \displaystyle md(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} ,& ~\text{se } n \text{ é ímpar} \\ \dfrac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)}+x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} ,& ~\text{se } n \text{ é par} \end{array} \right. \]

em que $x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq \ldots \leq x_{(n)}$, $x_{(1)}$ é o menor valor observado na amostra, $x_{(2)}$ é o segundo menor valor, $\ldots$, $x_{(n)}$ é o maior valor na amostra. $x_{(1)}, x_{(2)}, \ldots, x_{(n)}$ são chamados estatísticas de ordem.
* Para a duração do filme: $md(x) = 1.725$

Observação: a mediana é uma medida mais robusta que a média pois é menos afetada por valores extremos.

5.1.3 Moda

A moda é o valor que mais frequente na amostra.
Em alguns casos, pode existir mais de uma moda.
- Para a duração do filme: $mo(x) = 100$

5.2 Medidas de Dispersão

Na maioria dos casos, somente as medidas de posição trazem pouca informação sobre a variável de interesse.
Por exemplo, considere as seguintes amostras de tamanho 3: $(1,5,9)$, $(4,5,6)$ e $(5,5,5)$. Em todas elas, $\bar{x}=md(x)=5$. Contudo, na primeira os valores estão mais “espalhados”, enquanto na última os valores estão mais “concentrados”.
Para descrever melhor esta diferença, podemos usar medidas que nos informem o quanto os dados estão “espalhados”, ou como é a dispersão dos dados.

5.2.1 Variância

A variância é a média dos desvios ao quadrado das observações com relação à média, dada por \[var(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(x_i - \bar{x}\right)^2.\]
- No exemplo acima:
  1. para a Amostra 1: $\dfrac{(1-5)^2+(5-5)^2+(9-5)^2}{3}=\dfrac{16+0+16}{3}=10.666$;
  2. para a Amostra 2: $\dfrac{(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2}{3}=\dfrac{1+0+1}{3}=0.666$;
  3. para a Amostra 3: $\dfrac{(5-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2}{3}=0$.
- No exemplo da duração do filme: $var(x) = 73$

5.2.2 Desvio padrão

A variância está em uma escala diferente da variável observada. Uma forma de contornar isso é calcular sua raiz. A medida resultante é chamada de desvio padrão: $dp(x) = \sqrt{var(x)}$
- No exemplo acima:
  1. para a Amostra 1: $\sqrt{\dfrac{(1-5)^2+(5-5)^2+(9-5)^2}{3}}=\sqrt{32/3}=3.265986$;
  2. para a Amostra 2: $\sqrt{\dfrac{(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2}{3}}=\sqrt{2/3}=0.8164966$;
  3. para a Amostra 3: $\sqrt{\dfrac{(5-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2}{3}}=0$.
- No exemplo da duração do filme: $dp(x) = \sqrt{73}=8.54~m$

5.2.3 Desvio médio ou absoluto

Outra medida de dispersão é o desvio médio (ou absoluto): \[dm(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left|x_i - \bar{x}\right|.\]
- No exemplo acima:
  1. para a Amostra 1: ${\dfrac{|1-5|+|5-5|+|9-5|}{3}}=\dfrac{8}{3} \approx 2.666$;
  2. para a Amostra 2: ${\dfrac{|4-5|+|5-5|+|6-5|}{3}}=\dfrac{2}{3} \approx 0.666$;
  3. para a Amostra 3: ${\dfrac{|5-5|+|5-5|+|5-5|}{3}}=0$.
O desvio médio, assim como o desvio padrão, representam “erros” médios ao aproximar os valores observados pela média.

5.3 Medidas de ordem

5.3.1 Quartis e quantis

Como vimos, a mediana é o valor que “divide ao meio” a amostra.
De forma similar, podemos dividir a amostra em partes menores. Por exemplo, pode ser de interesse considerar os valores que dividem a amostra nos 5% menores valores, 10% menores, 20% e assim por diante.
O quantil de ordem p ou p-quantil, $0 < p < 1$, é o valor $Q(p)$ tal que $100\cdot p~\%$ das observações sejam menores do que $Q(p)$.
Há diversas formas de definir os quantis amostrais (veja, por exemplo, a ajuda do R para a função quantile). Aqui, por simplicidade, vamos considerar a definição a seguir. \[ Q(p) = \left\{ \begin{array}{lll} x_{(i)} & \text{se} & p = p_i = \frac{i - 0.5}{n}, \quad i = 1, \ldots, n \\ (1 - f_i) Q(p_i) + f_i Q(p_{i+1}) & \text{se} & p_i < p < p_{i+1} \\ x_{(1)} & \text{se} & 0 < p < p_1 \\ x_{(n)} & \text{se} & p_n < p < 1 \end{array} \right. \]
```
    em que $f_i = \dfrac{p-p_i}{p_{i+1}-p_i}$.
```
Quando houver empates (valores iguais) na amostra, vamos considerar o maior $p_i$ entre as observações empatadas.
Outros quantis podem ser calculados, como por exemplo,
- $Q(0.5) = \left(1-\frac{0.5-0.45}{0.55-0.45}\right)Q(0.45)+\left(\frac{0.5-0.45}{0.55-0.45}\right)Q(0.55)=\frac{1}{2}\cdot 1.70 + \frac{1}{2}\cdot 1.75 = 1.725 = md(x)$
- $Q(0.83) = \left(1-\frac{0.83-0.75}{0.85-0.75}\right)Q(0.75)+\left(\frac{0.83-0.75}{0.85-0.75}\right)Q(0.85)=0.2\cdot 1.79 + 0.8\cdot 1.81 = 1.806$
- $Q(0.13) = \left(1-\frac{0.13-0.05}{0.25-0.05}\right)Q(0.05)+\left(\frac{0.13-0.05}{0.25-0.05}\right)Q(0.25)=0.6\cdot 1.50 + 0.4\cdot 1.60 = 1.54$
Os quantis $Q(0.25)$, $Q(0.50)$ e $Q(0.75)$ são chamados de primeiro, segundo e terceiro quartis e são denotados por $q_1$, $q_2$ e $q_3$, respectivamente. Como já foi dito, $q_2 = md(x)$.

5.3.2 Distância (ou Amplitude) Interquartis

Outra medida de dispersão bastante utilizada é a distância interquartis, definida por \[d_Q = q_3 - q_1~.\]
A distância interquartis é a amplitude do intervalo que concentra 50% das observações centrais.

5.3.3 Desvio Mediano Absoluto

Como a mediana é uma medida mais robusta que a média, é possível estabelecer também uma medida de dispersão em termos de desvios em relação à mediana. Assim, defina o desvio mediano absoluto como \[dma(x) = md(|x_i - md(x)|)~.\]

5.3.4 Amplitude

Distância entre o maior e o menos valor observado. \[\Delta = x_{(n)} - x_{(1)}\]

5.4 Calculo de medidas no R

Média: função mean()

media <- mean(c(10, 20, 30, 40, 50, 55, 60))

Mediana: função median()

mediana <- median(c(10, 20, 30, 40, 50, 68))

Moda: o R não possui uma função embutida para moda, porém podemos calcular dessa forma:

dados <- c(1, 2, 2, 3, 3, 3, 4)

frequencias <- table(dados)
moda <- as.numeric(names(frequencias[frequencias == max(frequencias)]))

Quartis: função quantile()

quartis <- quantile(c(10, 20, 30, 40, 50))

Variância: função var()

dados <- c(10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16)
variancia <- var(dados)

Desvio padrão: função sd()

dados <- c(10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16)
desvio_padrao <- sd(dados)

Desvio mediano absoluto: função´mad()

dados <- c(10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16)
desvio_mediano_absoluto <- mad(dados)

5.5 Exercícios

Considere uma amostra de tamanho $n$, $x_1,\ldots,x_n$. Mostre que
\[ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x}) = 0 \]
Uma empresa está realizando um levantamento sobre o tempo médio de espera de seus clientes em uma fila de atendimento. Para isso, foi coletado o número de minutos que os 50 últimos clientes ficaram aguardando na fila. Os dados, já ordenados, são os seguintes:

1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 15.

Calcule a média, moda, mediana e quartis.

Prove que $\sum (x_i - \bar{x})^2 = \sum (x_i - \mu)^2 - n(\bar{x} - \mu)^2$