5 Medidas de uma variável
5.1 Medidas de posição ou de Tendência Central
- Utilidadas para resumir variáveis quantitativas.
- Dão a ideia do lugar da reta estão concentrados os valores de uma variável.
5.1.1 Média (Aritmética)
A medida mais utilizada é a média, definida por \[\displaystyle \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \dfrac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}~.\]
*Exemplo - Duração dos filmes da pixar: \(\bar{x} = \frac{81+95+92+92+100+115+117+111+98+96+103+106+93+104+95+93+97+102+105+118+100+102+100}{23}=100.65\)Alternativamente, quando há empates (isto é, \(n_1\) observações do valor \(x_1\), \(n_2\) observações do valor \(x_2\), e assim por diante), podemos calcular a média por \[\displaystyle \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^k n_i~x_i = \sum_{i=1}^k f_i~x_i = \frac{n_1~x_1+n_2~x_2+\ldots+n_k~x_k}{n}~,\] em que \(k\leq n\) é a quantidade de valores diferentes assumidos pela variável \(X\) e \(\sum n_i = n\). Ainda pode-se considerar para o cálculo da média a frequência relativa \(f_i = n_i/n\).
Quando os dados estão agrupados em classes, podemos calcular um valor aproximado da média fazendo \[\displaystyle \bar{x} \approx \sum_{i=1}^k f_i~\bar{x}_i~,\] em que \(\bar{x}_i\) é o valor médio da i-ésima classe e \(f_i\) é a frequência relativa daquela classe.
5.1.2 Mediana
- A mediana é o valor central dos dados. Pode ser calculada por
\[ \displaystyle md(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} ,& ~\text{se } n \text{ é ímpar} \\ \dfrac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)}+x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} ,& ~\text{se } n \text{ é par} \end{array} \right. \]
em que \(x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq \ldots \leq x_{(n)}\), \(x_{(1)}\) é o menor valor observado na amostra, \(x_{(2)}\) é o segundo menor valor, \(\ldots\), \(x_{(n)}\) é o maior valor na amostra. \(x_{(1)}, x_{(2)}, \ldots, x_{(n)}\) são chamados estatísticas de ordem.
* Para a duração do filme: \(md(x) = 1.725\)
- Observação: a mediana é uma medida mais robusta que a média pois é menos afetada por valores extremos.
5.2 Medidas de Dispersão
- Na maioria dos casos, somente as medidas de posição trazem pouca informação sobre a variável de interesse.
- Por exemplo, considere as seguintes amostras de tamanho 3: \((1,5,9)\), \((4,5,6)\) e \((5,5,5)\). Em todas elas, \(\bar{x}=md(x)=5\). Contudo, na primeira os valores estão mais “espalhados”, enquanto na última os valores estão mais “concentrados”.
- Para descrever melhor esta diferença, podemos usar medidas que nos informem o quanto os dados estão “espalhados”, ou como é a dispersão dos dados.
5.2.1 Variância
- A variância é a média dos desvios ao quadrado das observações com relação à média, dada por \[var(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(x_i - \bar{x}\right)^2.\]
- No exemplo acima:
- para a Amostra 1: \(\dfrac{(1-5)^2+(5-5)^2+(9-5)^2}{3}=\dfrac{16+0+16}{3}=10.666\);
- para a Amostra 2: \(\dfrac{(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2}{3}=\dfrac{1+0+1}{3}=0.666\);
- para a Amostra 3: \(\dfrac{(5-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2}{3}=0\).
- No exemplo da duração do filme: \(var(x) = 73\)
- No exemplo acima:
5.2.2 Desvio padrão
- A variância está em uma escala diferente da variável observada. Uma forma de contornar isso é calcular sua raiz. A medida resultante é chamada de desvio padrão: \(dp(x) = \sqrt{var(x)}\)
- No exemplo acima:
- para a Amostra 1: \(\sqrt{\dfrac{(1-5)^2+(5-5)^2+(9-5)^2}{3}}=\sqrt{32/3}=3.265986\);
- para a Amostra 2: \(\sqrt{\dfrac{(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2}{3}}=\sqrt{2/3}=0.8164966\);
- para a Amostra 3: \(\sqrt{\dfrac{(5-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2}{3}}=0\).
- No exemplo da duração do filme: \(dp(x) = \sqrt{73}=8.54~m\)
- No exemplo acima:
5.2.3 Desvio médio ou absoluto
- Outra medida de dispersão é o desvio médio (ou absoluto): \[dm(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left|x_i - \bar{x}\right|.\]
- No exemplo acima:
- para a Amostra 1: \({\dfrac{|1-5|+|5-5|+|9-5|}{3}}=\dfrac{8}{3} \approx 2.666\);
- para a Amostra 2: \({\dfrac{|4-5|+|5-5|+|6-5|}{3}}=\dfrac{2}{3} \approx 0.666\);
- para a Amostra 3: \({\dfrac{|5-5|+|5-5|+|5-5|}{3}}=0\).
- No exemplo acima:
- O desvio médio, assim como o desvio padrão, representam “erros” médios ao aproximar os valores observados pela média.
5.3 Medidas de ordem
5.3.1 Quartis e quantis
Como vimos, a mediana é o valor que “divide ao meio” a amostra.
De forma similar, podemos dividir a amostra em partes menores. Por exemplo, pode ser de interesse considerar os valores que dividem a amostra nos 5% menores valores, 10% menores, 20% e assim por diante.
O quantil de ordem p ou p-quantil, \(0 < p < 1\), é o valor \(Q(p)\) tal que \(100\cdot p~\%\) das observações sejam menores do que \(Q(p)\).
Há diversas formas de definir os quantis amostrais (veja, por exemplo, a ajuda do R para a função quantile). Aqui, por simplicidade, vamos considerar a definição a seguir. \[ Q(p) = \left\{ \begin{array}{lll} x_{(i)} & \text{se} & p = p_i = \frac{i - 0.5}{n}, \quad i = 1, \ldots, n \\ (1 - f_i) Q(p_i) + f_i Q(p_{i+1}) & \text{se} & p_i < p < p_{i+1} \\ x_{(1)} & \text{se} & 0 < p < p_1 \\ x_{(n)} & \text{se} & p_n < p < 1 \end{array} \right. \]
em que $f_i = \dfrac{p-p_i}{p_{i+1}-p_i}$.Quando houver empates (valores iguais) na amostra, vamos considerar o maior \(p_i\) entre as observações empatadas.
Outros quantis podem ser calculados, como por exemplo,
- \(Q(0.5) = \left(1-\frac{0.5-0.45}{0.55-0.45}\right)Q(0.45)+\left(\frac{0.5-0.45}{0.55-0.45}\right)Q(0.55)=\frac{1}{2}\cdot 1.70 + \frac{1}{2}\cdot 1.75 = 1.725 = md(x)\)
- \(Q(0.83) = \left(1-\frac{0.83-0.75}{0.85-0.75}\right)Q(0.75)+\left(\frac{0.83-0.75}{0.85-0.75}\right)Q(0.85)=0.2\cdot 1.79 + 0.8\cdot 1.81 = 1.806\)
- \(Q(0.13) = \left(1-\frac{0.13-0.05}{0.25-0.05}\right)Q(0.05)+\left(\frac{0.13-0.05}{0.25-0.05}\right)Q(0.25)=0.6\cdot 1.50 + 0.4\cdot 1.60 = 1.54\)
Os quantis \(Q(0.25)\), \(Q(0.50)\) e \(Q(0.75)\) são chamados de primeiro, segundo e terceiro quartis e são denotados por \(q_1\), \(q_2\) e \(q_3\), respectivamente. Como já foi dito, \(q_2 = md(x)\).
5.3.2 Distância (ou Amplitude) Interquartis
- Outra medida de dispersão bastante utilizada é a distância interquartis, definida por \[d_Q = q_3 - q_1~.\]
- A distância interquartis é a amplitude do intervalo que concentra 50% das observações centrais.
5.4 Medidas de assimetria
5.4.1 Coeficiente de Assimetria de Bowley
\[B = \frac{(q_3-q_2)-(q_2-q_1)}{q_3-q_1} = \frac{(q_3-q_2)-(q_2-q_1)}{(q_3-q_2)+(q_2-q_1)} = \frac{q_3+q_1-2q_2}{q_3-q_1}\]
5.4.2 Coeficiente de Assimetria de Pearson 1
\[Sk_1 = \frac{\bar{x}-moda(x)}{\sqrt{\frac{n}{n-1}}~dp(x)}\]
5.5 Calculo de medidas no R
- Média: função mean()
- Mediana: função median()
- Moda: o R não possui uma função embutida para moda, porém podemos calcular dessa forma:
dados <- c(1, 2, 2, 3, 3, 3, 4)
frequencias <- table(dados)
moda <- as.numeric(names(frequencias[frequencias == max(frequencias)]))- Quartis: função quantile()
- Variância: função var()
- Desvio padrão: função sd()
- Desvio mediano absoluto: função´mad()